- Permutasi adalah pengaturan urutan pepnyusunan sekumpulan objek unik (tidak mengandung duplikasi); permutasi dari sekumpulan objek dapat diformulasikan sebagai faktorial dari n.
- Permutasi : Formula
Permutasi pada pengaturan urutan penyusunan sejumlah R objek yang diambil dari sekumpulan n objek unik dapat diformulasikan sebagai berikut :
nPr = n!/(n – r)
r ≤ n
- Permutasi : contoh
Empat puluh tiga orang mengikuti lomba lari tingkat kecamatan. Berapa banyak kemungkinan posisi untuk juara pertama, kedua dan ketiga yang dapat terbentuk? [n = 43, r = 3] [Fundamental Counting Principle]
43P3 = 43!/(43 – 3)!
= 43!/40
= 43 x 42 x 41 x 40 / 40!
= 74.046
- Permutasi Dengan Duplikasi
Permutasi yang melibatkan kemunculan beberapa kali objek yang dapat di formulasikan sebagai berikut :
n! / n1! x n2! x n3! x ... x nk!
[n1 + n2 + n3 + ... + nk = n]
- Permutasi contoh
Semisal kita dihadapkan pada sekumpulan deret huruf sebagai berikut : AAAABBC. Berapa banyak cara untuk melakukan pengurutan deret huruf tersebut? [nA = 4, nB = 2, nC = 1]
n! / nA! x nB! x nC! = 7! / 4! x 2! x 1!
= 7 x 6 x 5 / 2
= 105
- Permutasi Contoh
Sebuah perusahaan pengembang perumahan ditugaskan untuk melakukan pembangunan 6 unit rumah 1 lantai, 4 unit rumah 2 lantai, dan 2 unit rumah 3 lantai. [n1lt = 6, n2lt = 4, n3lt = 2]
Bila setiap rumah dibangun secara berurutan, barapa banyak cara pengurutan bangunan rumah yang mungkin terbentuk?
n! / n1lt! x n2lt! x n3lt!
= 12! / 6! x 4! x 2!
= 13.860
- Kombinasi (Combinations)
Kombinasi adalah pemilihan sejumlah r objek dari sekumpulan n objek tanpa memperhatikan urutan.
nCr = n! / (n – r)! x r!
[r ≤ n]
- Kombinasi Contoh
Pemerintah kota memiliki 5 buah taman kota (A, B, C, D, E) yang membutuhkan instalasi lampu taman. Sayangnya anggaran yang tersedia hanya memungkinkan instalasi untuk 3 taman kota saja. [n = 5, r = 3]
Berapa banyak opsi 3 taman kota yang bisa dipilih untuk instalasi lampu taman? [ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE]
nCr = n! / (n – r)! x r!
nCr = 5! / (5 – 3)! x 3!
= 5! / 2! x 3!
= 20 / 2 = 10
- Kombinasi Contoh
Suatu proyek pembangunan bendungan menyelenggarakan lelang untuk menunjuk 4 perusahaan pengembang. Terdapat 16 perusahaan pengembang yang berpartisipasi dalam proses lelang. [n = 16, r = 4]
Berapa banyak kombinasi dari 4 perusahaan perusahaan pengembang yang akan ditunjuk?
nCr = n! / (n – r)! x r!
16C4 = 16! / (16 – 4)! x 4!
= 16! / 12! x 4!
= 1.820
- Probabilitas dengan Permutasi dan kombinasi: Contoh
Suatu unit kegiatan mahasiswa beranggotakan 17 orang. Terdapat 3 orang yang menduduki posisi sebagai: ketua, sekretaris dan bendahara. Setiap anggota memiliki kesempatan yang sama untuk menduduki ketiga posisi tersebut. [n = 17, r = 3]
Berapa probability untuk memilih 3 orang anggota secara acak dan ketiganya menduduki posisi sebagai ketua, sekretaris dan bendahara?
17P3 = 17! / (17 – 3)!
= 17 x 16 x 15 x 14! / 14!
= 4.080
P(E) = 1 / 4.080 = 0.0002
- Probabilitas dengan Permutasi dan Kombinasi : Contoh
Berapa probability untuk mendapatkan keseluruhan diamonds dari pengambilan 5 kartu pada tumpukan playing cards (52 kartu)?
Kombinasi yang mungkin terbentuk dari pengambilan 5 kartu : 52C5
Kombinasi yang mungkin terbentuk dari 5 kartu diamonds : 13C5
P(E) = 13C5 / 52C5
= 0.0005
- Probabilitas dengan Permutasi dan Kombinasi : Contoh
Dari kumpulan 400 bola tenis diketahui terdapat 3 bola yang cacat produksi. Dilakukan pengambilan 4 bola secara acak.
Berapa probability untuk mendapatkan 1 bola yang cacat produksi?
Kombinasi yang mungki terbentuk dari pengambilan 4 bola : 400C4
Kombinasii yang mungkin terbentuk dari pengambilan 1 bola cacat produksi : 3C1
Kombinasi yang mungkin terbentuk dari pengambilan 3 bola tidak cacat produksi : 397C3
P(E) = 3C1 x 397C3 / 400C4
= 0.03
