Permutasi Dan Kombinasi

Permutasi Dan Kombinasi

- Permutasi (Permutations)

Permutasi adalah pengaturan urutan penyusunan sekumpulan objek unit (tidak mengandung duplikasi); permutasi dari sekumpulan objek dapat diformulasikan sebagai faktorial dari n. n! = n x (n – 1) x (n – 2) x (n – 3) x ... x 3 x 2 x 1

Kasus khusus: 0! = 1

- Permutasi : Formula

Permutasi pada pengaturan urutan penyusunan sejumlah r objek yang diambil dari sekumpulan n objek unit dapat diformulasikan sebagai berikut:

nPr = n!/(n – r)!

r ≤ n

- Permutasi : dengan duplikasi

Permutasi yang melibatkan kemunculan beberapa kali objek sejenis dapat diformulasikan sebagai berikut:

n! / n1! x n2! x n3! x ... x nk!

n1 + n2 + n3 + ... + nk = n

permutasi : contoh

semisal kita dihadapkan pada sekumpulan deret huruf sebagai berikut : AAAABBC. Berapa banyak cara untuk melakukan pengurutan deret hurf tersebut? nA = 4, nB = 2, nC = 1

n! / nA! x nB! x nC! = 7!/ 4! x 2! x 1!

= 7 x 6 x 5/2

= 105

Permutasi : Contoh

Sebuah perusahaan pengembang perumahan ditugaskan untuk melakukan pembangunan 6 unit rumah 1 lantai, 4 unit rumah 2 lantai, dan 2 unit rumah 3 lantai. N1lt = 6, n2lt = 4, n3lt = 2

Bila setiap rumah dibangun secara berurutan, berapa banyak cara pengurutan bangunan rumah yang mungkin terbentuk?

n! / n1lt! x n2lt! x n3lt! = 12!/6! x 4! x 2!

= 13,860

- Kombinasi (Combinations)

Kombinasi adalah pemilihan sejumlah r objek dari sekumpulan n objek tanpa memperhatikan urutan.r ≤ n

nCr = n! / (n – r)! x r!

- Probabilitas dengan permutasi dan kombinasi : contoh

Suatu unit kegiatan mahasiswa beranggotakan 17 orang. Terdapat 3 orang yang menduduki posisi sebagai : ketua, sekretaris, dan bendahara. Setiap anggota memiliki kesempatan yang sama untuk menduduki posisi tersebut. n = 17, r = 3

Beberapa probability untuk memilih 3 orang anggota secara acak dann ketiganya menduduki posisi ketua, sekretaris dan bendahara?

17P3 = 17! / (17 – 3)

= 17 x 16 x 15 x 14! / 14!

= 4,080

P(E) = 1 / 4,080 = 0.0002

- Probabilitas dengan permutasi dan kombinasi : contoh 2

Beberapa probability untuk mendapatkan keseluruhan diamonds dari pengambilan 5 kartu pada tumpukan playing cards?

Kombinasi yang mungkin terbentuk dari pengambilan 5 kartu : 52C5

Kombinasi yang mungkin terbentuk dari 5 kartu diamonds : 13C5

P(E) = 13C5/52C5

= 0.0005

- Probabilitas dengan permutasi dan kombinasi : contoh 3

Dari kumpulan 400 bola tenis diketahui terdapat 3 bola yang cacat produksi. Dilakukan pengambilan 4 bola secara acak.

Berapa probability untuk mendapatkan satu bola yang cacat produksi?

Kombinasi yang mungki terbentuk dari pengambilan 4 bola : 400C4

Kombinasi yang mungkin terbentuk dari pengambilan 1 bola cacat produksi : 3C1

Kombinasi yang mungkin terbentuk dari pengambilan 3 bola tidak cacat produksi : 397C3

P(E) = 3C1 x 397C3/400C4

= 0.03